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一、容斥問題

容斥問題即包含與排斥問題，它是一種計數(shù)問題。在計數(shù)時，幾個計數(shù)部分有重復包含時，為了不重復計數(shù)，應從他們的和中排除重復部分，采用這種計數(shù)方法的題型稱為容斥問題。

二、題目特點

題目中給出多個概念，概念之間存在交叉關(guān)系。

三、常考題型

1、二者容斥問題

公式：覆蓋面積=A+B-A與B的交集

例1:大學四年級某班有50名同學，其中奧運會志愿者10人，全運會志愿者17人，30人兩種志愿者都不是，則班內(nèi)是全運會志愿者且奧運會志愿者的同學是多少？

A.6   B.7

C.8   D.9

解析：兩個概念分別的奧運會志愿者和全運會志愿者，設班內(nèi)是全運會志愿者且奧運會志愿者的同學有X人，則有10+17-X+30= 50,所以X=7,即班內(nèi)是全運會志愿者且奧運會志愿者的同學有7人。

2.三者容斥問題

公式：覆蓋面積=A+B+C-兩者交-2×三者交

例2:某調(diào)查公司對甲、乙、丙三部電影的收看情況向125人進行調(diào)查，有89人看過甲片，有47人看過乙片，有63人看過丙片，其中有24人三部電影都看過，20人一部也沒有看過，則只看過其中兩部電影的人數(shù)是多少人？

A、69   B、65

C、57   D、46

解析：三個概念分別是甲片、乙片、丙片，假設只看過其中兩部電影的人數(shù)有X人，則89+47+63-X-2×24+20=125.所以X=46.即只看過其中兩部電影的人數(shù)有46人。

3.容斥極值問題

容斥極值最常考的就是容斥交集的最小值，我們可以套用公式解決。

①(A∩B)=A+B-I (I表示全集)

②(A∩B∩C)=A+B+C-2I

③(A∩B∩C∩D)=A+B+C+D-3I

例3:小明、小剛、小紅、小英四人一起參加一次英語考試，已知考試共有100道題，且小明做對了79題，小剛做對了88題，小紅做對了91題，小英作對了89題。

問題：

①小明和小剛都最對的題目至少有幾題？

②小明、小剛、小紅都最對的題目至少有幾題？

③小明、小剛、小紅、小英四人最對的題目至少有幾題？

解析：

①小明和小剛都最對的題目至少有79+88-100=67人

②小明、小剛、小紅都最對的題目至少有79+88+91-2×100=58人

③小明、小剛、小紅、小英四人最對的題目至少有79+88+91+89-3×100=47人。